法雷级数,是指每一行从0/1开始,以1/1结尾,其它数自左至右将所有的真分数按增加顺序排列;
第n行是由所有分母小于或等于n的真分数组成,我们称为n阶法雷级数。
R.亨斯贝尔格著李忠翻译的《数学中的智巧》一书,介绍了法雷级数。
如下表:
F1: 0/1 1/1
F2: 0/1 1/2 1/1
F3: 0/1 1/3 1/2 2/3 1/1
F4: 0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1
F5: 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1
F6:0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1
…… ………………………………
这里我们想问的是第n行Fn的真分数的个数有多少个呢?
我们设Fn的个数为ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的个数是分母是n,分子比n小且与n互质的数的个数,这正是欧拉函数φ(n)。即
ψ(n)=ψ(n-1)+ φ(n)
ψ(1)=1+φ(1)
ψ(2)=ψ(1)+φ(2)
ψ(3)=ψ(2)+φ(3)
………………
ψ(n)= ψ(n-1)+ φ(n)
所以 ψ(n)=1+φ(1)+φ(2)+φ(3)+……+φ(n)很容易证明,当n≥3时,欧拉函数φ(n)是个偶数。
由此我们得到除ψ(1)=2是偶数外,法雷级数其它各级的个数都是奇数,并且许多是素数。
ψ(1)=2,ψ(2)=3,ψ(3)=5,ψ(4)=7,ψ(5)=11,ψ(6)=13,ψ(7)=19,ψ(8)=23,ψ(9)=29,……。

性质编辑
法雷级数Fn具有很多美妙的性质,下面是一些常见的性质:
1.如果a/b,c/d是相邻的两项,则abs(ad-bc)=1。
2.如果a/b,c/d,e/f是相邻的三项,则 (a+e)/(b+f)=c/d,特别的,如果c/d是新添加的,即c/d不属于F(n-1),则c=a+e;d=b+f。
性质2对于这个问题至关重要,它的证明可以参见哈代(Hardy)写的数论导引第三章
关于Farey级数的介绍。根据这条性质可以知道,丛F(n−1)到F(n)的构造过程中,F(n)的新项的分母一定是其相领两项的分母和。
另一方面,如果F(n−1)中的相邻两项 a/b,c/d, b+d=n,则(a+c)/n一定会被添加到F(n)中。

void dfs(int a,int b,int x,int y,int n)
{
    int p=a+x;
    int q=b+y;
    if(q>n) return;
    dfs(a,b,p,q,n);
    cout<<p<<"/"<<q<<" ";
    dfs(p,q,x,y,n);
}

dfs(0,1,1,1,n);
0
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